terça-feira, 14 de dezembro de 2010

Resenha do cap XI do livro O diabo dos números

O diabo dos números
Hans Magnus Enzensberger
Resenha do capitulo XI: A décima primeira noite.Do livro: Enzensberger, H. M. O diabo dos números. São Paulo: companhia das letras, 1997.
Acadêmico: Joifer Augusto Tres.


Hans Magnus Enzensberger, era escritor, ele escrevia suas obras especialmente para as pessoas que tinham medo da matemática. Entre suas tantas obras uma delas é chamada, “O diabo dos números” esta obra é dividida em doze noites ou seja doze capítulos contendo duzentas e sessenta e seis paginas. No livro cada noite representa o sonho do personagem principal com o diabo dos números, ao decorrer da historia o garoto vai aprendendo a matemática e passa a gostar dela. Nesse trabalho vou resenhar a décima primeira noite, ou seja o décimo primeiro capítulo que vai da pagina 215 até a 232.
Capítulo 11.
O autor começa este capitulo exclamando que mais uma noite vinha a chegar para Robert e nesta ia se aproximando do anoitecer e ele ia em disparada atravessando a cidade e seu professor Bockel o perseguia e mais que ele acelerava mais o professor corria e mais professores apareciam correndo atrás dele. Eram todos tão idênticos que todos pareciam o professor Bockel. O garoto começa a gritar por socorro e é agarrado pelo diabo dos números que o leva para um elevador e sobem para o ultimo andar de um prédio onde ele se depara com espelhos nos quatro lados e vê inúmeros diabo dos números e inúmeros garotos idênticos a ele, até que foram ao terraço do prédio e ele viu inúmeras pessoas la em baixo, que pareciam formigas e pensou que eram todos o professor Bockel.
O autor segue o capítulo iniciando um dialogo entre Robert e o diabo dos números. Em cima do prédio Robert pergunta o porquê do diabo dos números ter ensinados tantos truques e ele explica que é pra ele brincar com os números, saber oque há por trás deles em resumo fazer o que um matemático faria, então Robert exclama mas no fundo você apenas me mostrou as coisas e nunca provou nada, então ele explica provar na matemática é mais complicado do que você imagina se ir de 2 a 2x2 e a 2x2x2,e assim por diante é muito fácil mas se saltar em qualquer numero 0 vezes você vai rir mas a resposta é sempre 1 eu poderia te demonstrar isso mas ai você ficaria louco.
E então você se lembra que contou uma historia no inicio de que a partir de 1 pode fazer aparecer todos outros algarismos, assim;
1x1=1
11x11=121
111x111=12321
1111x1111=1234321
11111x11111=123454321
E assim por diante bem que parecia que os algarismos apareceriam dessa forma mas continuando a fazer contas quando chegarmos no algarismo;
1111111111x1111111111
Encontraremos uma salada de frutar de algarismos, o truque parecia bom mas no final das contas não adiantava nada sem uma demonstração.
O diabo dos números então diz para Robert que ele esta sendo injusto com o professor pois ele precisa se arrebentar todos os dias para corrigir as tarefas de seus alunos e alem disso ainda tem um plano de aula para obedecer.
Então o diabo dos números exclamando que na matemática nada é fácil de ser demonstrado, diz para Robert que imagina que ele fosse para os Estados Unidos e la tivesse 25 conhecidos cada um morando numa cidade diferente e ele pega o mapa e pensa na melhor maneira de visitar todos economizando o maximo de quilômetros pela rota mais curta.
Parece bem fácil mas não é pois se fosse dois amigos seria simples mas se fosse três amigos já seria mais complicado, pois seriam já 6 rotas para analisar e sendo quatro amigos já complicaria mais pois já seriam 24 rotas para escolher a mais adequada e assim vem um problema, sendo que são 25 amigos e então tem que calcular quantas serão as possibilidades de rotas assim calculando seria 25 “fatorial” aproximadamente 1600000000000000000000000000.
Seria impossível verificar todas essas rotas para escolher a mais curta mesmo com o melhor computador que existe isso seria impossível.
O autor finaliza o capitulo com Robert se dizendo mais tranquilo pois achava que tudo tinha que ter um resultado definido e depois de saber que até o diabo dos números não consegue resolver alguns problemas matemáticos ele continua a dormir.
Conclusão deste capítulo é que sendo alunos de matemática não devemos ter medo da matemática pois sabemos que alguns resultados são dificilmente explicado até mesmo por bons matemáticos e não devemos desistir quando surgir um primeiro problema: devemos encarar e o superar com um bom resultado.

Resenha do cap 1 do livro O que é matemática? do autor Richard Courant e Herbert Robbins

Resenha do Capítulo I: Os números naturais. Do livro:
COURANT, R., ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro, Editora Ciência moderna Ltda.,2000
Autora Sheila Regina Tres, acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.

O capítulo que escolhi para fazer a resenha está no livro, O que é matemática? do autor Richard Courant e Herbert Robbins, da editora ciência moderna o capítulo que optei por descrever é o capitulo I que fala sobre Os números naturais e a Teoria dos números. Este livro possui 615 paginas dividido em oito capítulos cujos assuntos são: O sistema numérico da matemática e a Álgebra dos conjuntos, Construção geométrica: A álgebra dos corpos numéricos, Geometria projetiva: geometrias não- Euclidianas e geometria em mais de três dimensões, Topologia, Funções e limites, Máximos e mínimos e finaliza com O calculo. Em suas ultimas pagina o autor destaca observações sobre problemas e exercícios, este livro é muito interessante, pois nos traz diversas formas diferentes de aprender a matemática e seus significados.
O capítulo I inicia pelas palavras de Leopold Kronecker (1823-1891) que dizia: “Deus criou os números naturais; tudo a mais é produto da mão do homem”, pois naturais são: 1, 2, 3,.... que foram criados pela necessidade de contar objetos e coisas.
Os números naturais obedecem a leis que não podem ser utilizados os símbolos já conhecidos, portanto as representações são feitas geralmente por letras, essa teoria na matemática é chamada de Aritmética. Alguns exemplos dessas leis são: comutativa na adição e da multiplicação, leis associativas da adição, entre outras.
Com a infinidade de números naturais existentes, foram criados padrões para um raciocínio matemático chamado de indução matemática. Esse método é utilizado para demonstrar a coerência de teoremas matemáticos em uma seqüência infinita. O autor cita algumas das demonstrações por indução matemática: as progressões aritméticas, a progressão geométrica, a soma dos primeiros quadrados de n, uma desigualdade importante, o binômio de Newton. Em todas essas demonstrações ele faz passo-a-passo como deve ser o procedimento de uma demonstração.
São feitas algumas observações sobre indução matemática, pois ela deve ser rigorosa, sempre cuidando se todas as condições para uma demonstração estão satisfeitas, quando a tentativa for bem sucedida, o teorema será conhecido como verdadeiro, mas se fracassar o teorema poderá ser verdadeiro ou falso.
Para contribuir com a compreensão dos números naturais o autor faz um suplemento a esse capitulo onde o chama de, “A teoria dos números”, e introduz esse assunto com uma frase de Gauss (1777-1855), considerado o maior matemático dos tempos modernos, sua opinião foi expressa na seguinte frase: “a matemática é a rainha das ciências e a teoria dos números a rainha da matemática”.
Os números primos ganharam destaque pela importância que eles têm na teoria dos números. Essa classe de números tem como característica a de não poderem ser decompostos em fatores menores, tem por definição que: “um número primo é um inteiro p, maior do que um, que não tem nenhum fator diferente dele próprio e de um”. Esses números possuem fundamental importância pelo fato de que qualquer inteiro pode ser expresso como um produto de primos.
No estudo dos primos foram inúmeras tentativas para que se chegasse a uma formula geral, na qual esta pudesse originar todos os números primos, porem entre muitas provas não houve sucesso. Dentre estas tentativas o matemático Fermat conseguiu gerar uma fórmula que originasse os números primos, mas essa formula só foi comprovada para n= 1,2,3,4 e logo descobriu que para n > 4 não existe nenhum número primo que seja compatível a fórmula de Fermat. Em outra tentativa a fórmula gerada produz números primos até n= 79, e exceto em n= 41 e a partir de n= 80 a fórmula fracassa novamente. Contudo pode se deduzir que seria inútil buscar expressões que produzam apenas números primos. Uma maneira que conhecemos para localizar todos os números primos em um determinado intervalo é o chamado “Crivo de Eratóstenes”, este possibilita que localizemos todos os primos que desejarmos, essa é uma forma mais pratica para acharmos os números primos, já que não existe formulas que possam gerar todos eles. A grande descoberta de Gauss que foi demonstrada ao longo deste capitulo é a de que os números primos podem ser descritos pela função logarítmica, é posto como surpreendente, pois são dois conceitos matemáticos aparentemente tão desvinculados e na realidade estão intimamente ligados. A teoria dos números primos continua sendo um assunto difícil de tratar.
Neste capitulo o autor também destaca a congruência, pois ela ocorre na vida diária, na qual nos diz respeito a módulos fixos. O conceito de congruência tem interpretação geométrica, quando escolhemos segmentos para representar e os estendemos por seus múltiplos de seu comprimento. Ao longo dessa explicação é feita varias demonstrações e exemplos que tornam o assunto mais compreensível.
Neste contexto o teorema de Pitágoras também se relaciona com a teoria dos números, pois usando a fórmula em uma relação estabelecida por Fermat ele pode obter todos os números pitagóricos primitivos, esse não foi um teorema muito importante na matemática, mas gerou muitas investigações importantes na teoria dos números, e contribuiu também: Euler, o algoritmo de Euclides e as frações contínuas tiveram grande destaque.

Resenha do cap 1 do livro O que é Matemática de Richard

Capítulo I
Os números naturais.
O capítulo que escolhi para fazer a resenha está no livro, O que é matemática? do autor Richard Courant e Herbert Robbins,

Resenha do cap 1 do livro O que é Matemática de Richard

Capítulo I
Os números naturais.
O capítulo que escolhi para fazer a resenha está no livro, O que é matemática? do autor Richard Courant e Herbert Robbins,

Resenha do Capítulo 2 do livro O Diabo dos Números

Autor do Livro: Hans Magnus Enzensberger
Autoras da Resenha: Acadêmicas do curso de Licenciatura em Matemática, da Universidade de Caxias do Sul, RS, Daniana Salvador dos Passos, Graziela Prescendo Dall’agnol, Karina Oliveira de Castilhos e Suélen Reissner.


Hans Magnus Enzensberger nasceu em 11 de novembro, 1929 em Kaufbeuren, é poeta, ensaísta, tradutor e editor alemão. Estudou literatura e filosofia nas universidades de Erlengen, Freiburg, Hamburgo e também em Sorbonne, Paris, recebeu seu doutorado em 1955.
Enzensberger trabalhou como redator na rádio de Stuttgart e exerceu a docência até 1957, com o volume de poesias Verteidigung der Wölfe (Defesa dos Lobos). Em 1965 criou a revista “Kursbuch” e desde 1985 edita a série literária Die andere Bibliothek. Publicou entre outras obras Por onde você andou, Robert? (1999), O Náufrago do Titanic - Uma Comédia (2000), O Diabo dos Números (2000), Ziguezague (2003) e Hammerstein ou a Obstinação (2009).
O livro O Diabo dos Números , com duzentos e setenta e duas paginas, é dividido em doze noites, ou seja, doze capítulos. Ele conta a história de Robert, um garoto que tem pesadelos estranhos e não gostava de Matemática. Num de seus sonhos ele encontra Teplotaxl, o Diabo dos Números que, em doze noites, desafia o garoto com problemas e enigmas fazendo-o perceber que aprender Matemática pode ser uma grande aventura.
O capítulo dois A Segunda Noite.
Teplotaxl aparece, na segunda noite, sentado num cogumelo. Espera que Robert adormeça e, depois, surge em sonhos, escorregando por um gigantesco pau-de-sebo, com muitos números do tamanho de mosquitos zumbindo à sua volta.
Robert compara a floresta com o livro de histórias para crianças: Alice no País das Maravilhas. Mas, diferente do que acontece no reino de Alice, na Matemática predomina a exatidão e embora pareça confusa, Teplotaxl mostra a Roberto que a matemática é perfeita.
Questionando sobre quem inventou os números-mosquitos e o pau-de-sebo, Robert se dá conta que estava faltando alguma coisa, o número zero. Teplotaxl, então comenta que o zero foi o último número a ser descoberto pelo homem, visto que é o bem mais bolado dos números. Ele então escreve com sua bengala no céu o ano que Robert nasceu em algarismos romanos. Mas que complicação, exclama Roberto. E Teplotaxl lhe apresenta os algarismos romanos, que não tinha o zero.
Robert não entendia, pois para ele o zero não é nada e como é que nada pode ser um número. É isso que o 0 tem de genial, disse o diabo. Vamos começar com o menos que é mais fácil. Ele então pega sua bengala e escreve 1 – 1 = ? ;e Robert logo responde 0 é obvio. O diabo então explica que se não tivesse o zero não dava para responder. Mas, Robert ainda não se convence e questiona para que escrever o zero se o resultado é nada, então não há nada para se escrever. Para que um número para algo que nem existe.
O Diabo então lhe mostra a reta numérica sem o zero e prova que sem ele não dá para calcular a diferença entre 1 e -1. Em seguida passa mais uma tarefa para o garoto. 9 + 1 = ?; 10 responde Robert. O Diabo lhe entrega sua bengala e pede para que ele escreva e então pergunta 1 e 0, 1 mais 0 não dá 10. Robert explica que não está escrito 1 mais 0, mas um 1 e um 0, que quer dizer 10.
Você pode me explicar porque isso quer dizer 10, porque é assim que se escreve, pergunta o diabo. Robert fica nervoso de tantos porquês e não responde, o Diabo então pede se ele não gostaria de saber. Fale de uma vez respondeu o garoto.
A razão são os saltos, explica o Diabo, vamos começar pela tabuada do 1.
1 x 1 = 1
1 x 1 x 1 = 1
1 x 1 x 1 x 1 = 1
...
Podemos continuar, mas o resultado sempre será 1.
O Diabo fez a mesma coisa com o 2 e com o 5 e Robert logo percebeu que os números aumentam depressa e que logo ia precisar de uma calculadora. Pediu para o Diabo parar pois achava chato ficar multiplicando sempre o mesmo 5 por ele mesmo.
Como ele era o Diabo dos números, mostrou sua maneira de escrever: 5 elevado a primeira, cinco elevado a segunda, cinco elevado a terceira e assim por diante. Explicou que faz o cinco saltar e que com o 10 é ainda mais fácil e nem precisa de calculadora. Se o 10 saltar uma vez fica igual 10¹ = 10, se saltar duas vezes fica 10² = 100 e se saltar três vezes fica 10³ = 1000. É isso que é bonito no zero, pois você logo sabe quanto vale um algarismo qualquer de acordo com sua posição.
Com a ajuda do zero e alguns saltos pode-se fabricar os números comuns que quiser, grandes e pequenos. Por exemplo, pegue o ano do seu nascimento: 1986. Robert, cauteloso, escreveu o 1 no céu. O Diabo, furioso, explicou que precisa começar de traz para frente. Então ele escreveu o 6 e o Diabo complementou 6 x 1 = 6 e falou que agora era a vez do 8, mas não podia esquecer o salto.
Robert entendeu o que ele queria dizer e escreveu: 8 x 10 = 80. No 9 são dois saltos, 9 x 100 = 900 e saltando 3 vezes 1 x 1000 = 1000. Tudo isso dá: 6 + 80 + 900 + 1000 = 1986.
Quando o Diabo começou a falar em tirar da cartola números com quantidades bem maiores, números inventados e dos números insensatos que são maiores que o infinito Robert acordou gritando.
A maneira como o Diabo explica a matéria para Robert, que pode ser comparado aos nossos alunos que não vêem sentido na Matemática, fazem do livro uma leitura essencial para os professores de Matemática. Mostra que é preciso rever a forma como a matéria esta sendo ensinada nas escolas e que sem desafios é difícil encantar os alunos.

Resenha do livro O romance das equações algébricas

Livro: O Romance das Equações Algébricas
Autor do Livro: Gilberto Garbi
Autores da resenha: Acadêmicas do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do sul, RS, Érica Camila de Melo e Rose Mary Neto


O livro O Romance das Equações Algébricas do autor Gilberto Garbi publicado no ano de 2007 em 2ª edição pela editora Fulca, contem vinte e dois capítulos, onde o autor constrói em cada capitulo a história da matemática usando seus reais personagens e algumas demonstrações, a linguagem coloquial é de fácil entendimento, cada capitulo traz os seus principais personagens e com a evolução da leitura pode-se observar que as histórias vão se interligando. O livro começa falando sobre as equações em si no termo matemático e como são utilizadas até mesmo em um pensamento primitivo, trazendo exemplos de equações algébricas e não algébricas.
No capitulo III o autor fornece informações sobre de onde vem a matemática e como foi surgindo a ideia matemática, e busca coligações entre a antiguidade para explicar essa linha do tempo que ele ira construir ao longo da leitura, com isso ele começa o capitulo IV falando sobre os egípcios e os mesopotâmios e suas contribuição matemáticas, desenvolvendo este assunto também no capitulo V onde traz nomes de matemáticos conhecidos como Tales e o seu teorema sobre proporções entre outros, Pitágoras e as relações com o triangulo retângulo e Euclides que é pai da geometria e autor do livros Elementos, que deixaram na história as suas “verdades matemáticas”, mesmos que algumas dessas possam não ter sido provadas.
No capitulo VI fazemos uma viagem até a contribuição dos Hindus e os Árabes, onde se pode também conhecer a ligação que a queda do Império Romano tem com a matemática, o nascimento de Maomé na Arábia e os seus ensinamentos, a perda da biblioteca de Alexandria onde provavelmente continha muitos manuscritos importantes e referentes a nossas bases de estudos. Os seguidores de Maomé e sua contribuição em financiar a tradução do treze livros de Euclides para a sua língua após notar que não era apenas as artes que o mundo propiciava, mas também o ensinamento das ciências exatas, e através disso obteve a melhor biblioteca depois que a de Alexandria foi queimada. Onde também foi frequentada por muitos cientistas, incluindo Al-Khwarizmi que deu origem a palavra algarismo e ao estudo da álgebra.
Também trouxe o destaque Hindu, Bhaskara, que trouxe a resolução da equação quadrática.
E durante o capitulo VII e VIII, é apresentado a forma como Fibonacci trouxe os algarismos hindus para a Europa e Frei Luca se tornou o pai da contabilidade, a disputa entre Cardano e Tartaglia nas equações de terceiro grau e a fórmula que surgiu nesta disputa.
As descobertas de Fermat, Diofante de Alexandria e Rene Descartes que trouxeram novidades como regras de sinais, e regras de perpendiculares e a invenção da geometria analítica, são encontradas no capitulo XII.
E a historia de Newton começa a aparecer no capitulo XIII, mostrando como foi a sua infância e seus trabalhos que no inicio hesitou em publicar, mas que depois trouxe muitas contribuições em matemática e física.
A partir do capitulo XV, temos a surpreendente história de Gauss e o teorema fundamental da álgebra, onde começou a estudar matemática aos 12 anos, e aos 15 demostrou sua primeira demonstração rigorosa, e aos 21 anos apresentou ao mundo o Teorema Fundamental da Álgebra, que foi considerado a melhor tese de doutorado em matemática. Logo depois vem Euler e o numero e no contexto histórico, algumas deixas na história de Leibniz e Moivre, e as trágicas história de Evariste de Galois que contribuiu com teoremas sobre frações periódicas, a resolução de equação numérica, mas faleceu apenas com vinte anos, e também Niels Abel, que fez contribuições que generalizou a equação acima do quarto grau, que foi considerado inovador e avançado ao ponto que Cauchy e Legrende tiveram que se esforçar muito para compreendê-lo, a foi reconhecido apenas depois de sua morte por má alimentação e tuberculose.
Nos seguintes capítulos XX, XI e XII, foi observado as equações reciprocas, as construções geométricas com régua e compasso, as raízes de uma equação de terceiro grau, ao ensinamento de Arquimedes para dividir ângulos em três partes iguais, a invenção da Concóide feita por Nicomedes, a história dos números algébricos e transcendentes.
No ultimo capitulo é uma passagem geral, onde traz historias como a dos números primos, a desafio de calcular o perímetro da circunferência e a abordagem do conceito de limite pra esta resolução, o sistema binário e Newton e as séries infinitas.
É interessante como estudantes não tem a visão que a matemática tem sua história, seus inventores e sua evolução, com este livro podemos conhecer a história da matemática e também conceitos poucos explicados.

quarta-feira, 8 de dezembro de 2010

Resenha do livro O Romance das Equações Algébricas

Livro: O Romance das Equações Algébricas
Autor do Livro: Gilberto Garbi
Autora da resenha: Érica Camila de Melo e Rose Mary Neto
Acadêmicas do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.

O livro O Romance das Equações Algébricas do autor Gilberto Garbi publicado no ano de 2007 em 2ª edição pela editora Fulca, contem vinte e dois capítulos, onde o autor constrói em cada capitulo a história da matemática usando seus reais personagens e algumas demonstrações, a linguagem coloquial é de fácil entendimento, cada capitulo traz os seus principais personagens e com a evolução da leitura pode-se observar que as histórias vão se interligando. O livro começa falando sobre as equações em si no termo matemático e como são utilizadas até mesmo em um pensamento primitivo, trazendo exemplos de equações algébricas e não algébricas.
No capitulo III o autor fornece informações sobre de onde vem a matemática e como foi surgindo a ideia matemática, e busca coligações entre a antiguidade para explicar essa linha do tempo que ele ira construir ao longo da leitura, com isso ele começa o capitulo IV falando sobre os egípcios e os mesopotâmios e suas contribuição matemáticas, desenvolvendo este assunto também no capitulo V onde traz nomes de matemáticos conhecidos como Tales e o seu teorema sobre proporções entre outros, Pitágoras e as relações com o triangulo retângulo e Euclides que é pai da geometria e autor do livros Elementos, que deixaram na história as suas “verdades matemáticas”, mesmos que algumas dessas possam não ter sido provadas.
No capitulo VI fazemos uma viagem até a contribuição dos Hindus e os Árabes, onde se pode também conhecer a ligação que a queda do Império Romano tem com a matemática, o nascimento de Maomé na Arábia e os seus ensinamentos, a perda da biblioteca de Alexandria onde provavelmente continha muitos manuscritos importantes e referentes a nossas bases de estudos. Os seguidores de Maomé e sua contribuição em financiar a tradução do treze livros de Euclides para a sua língua após notar que não era apenas as artes que o mundo propiciava, mas também o ensinamento das ciências exatas, e através disso obteve a melhor biblioteca depois que a de Alexandria foi queimada. Onde também foi frequentada por muitos cientistas, incluindo Al-Khwarizmi que deu origem a palavra algarismo e ao estudo da álgebra.
Também trouxe o destaque Hindu, Bhaskara, que trouxe a resolução da equação quadrática.
E durante o capitulo VII e VIII, é apresentado a forma como Fibonacci trouxe os algarismos hindus para a Europa e Frei Luca se tornou o pai da contabilidade, a disputa entre Cardano e Tartaglia nas equações de terceiro grau e a fórmula que surgiu nesta disputa.
As descobertas de Fermat, Diofante de Alexandria e Rene Descartes que trouxeram novidades como regras de sinais, e regras de perpendiculares e a invenção da geometria analítica, são encontradas no capitulo XII.
E a historia de Newton começa a aparecer no capitulo XIII, mostrando como foi a sua infância e seus trabalhos que no inicio hesitou em publicar, mas que depois trouxe muitas contribuições em matemática e física.
A partir do capitulo XV, temos a surpreendente história de Gauss e o teorema fundamental da álgebra, onde começou a estudar matemática aos 12 anos, e aos 15 demostrou sua primeira demonstração rigorosa, e aos 21 anos apresentou ao mundo o Teorema Fundamental da Álgebra, que foi considerado a melhor tese de doutorado em matemática. Logo depois vem Euler e o numero e no contexto histórico, algumas deixas na história de Leibniz e Moivre, e as trágicas história de Evariste de Galois que contribuiu com teoremas sobre frações periódicas, a resolução de equação numérica, mas faleceu apenas com vinte anos, e também Niels Abel, que fez contribuições que generalizou a equação acima do quarto grau, que foi considerado inovador e avançado ao ponto que Cauchy e Legrende tiveram que se esforçar muito para compreendê-lo, a foi reconhecido apenas depois de sua morte por má alimentação e tuberculose.
Nos seguintes capítulos XX, XI e XII, foi observado as equações reciprocas, as construções geométricas com régua e compasso, as raízes de uma equação de terceiro grau, ao ensinamento de Arquimedes para dividir ângulos em três partes iguais, a invenção da Concóide feita por Nicomedes, a história dos números algébricos e transcendentes.
No ultimo capitulo é uma passagem geral, onde traz historias como a dos números primos, a desafio de calcular o perímetro da circunferência e a abordagem do conceito de limite pra esta resolução, o sistema binário e Newton e as séries infinitas.
É interessante como estudantes não tem a visão que a matemática tem sua história, seus inventores e sua evolução, com este livro podemos conhecer a história da matemática e também conceitos poucos explicados.

Resenha dos capítulos 01, 02, 03, 04, 05, 07 e 08 do livro: O Homem que Calculava

Resenha dos capítulos 01, 02, 03, 04, 05, 07 e 08 do livro: O Homem que Calculava
Autor do Livro: Malba Tahan
Autoras: Andressa Boff e Elenise Pereira
Acadêmicas do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.


O livro O Homem que Calculava, escrito por Malba Tahan (pseudônimo do professor Júlio César de Mello e Souza), publicado pela Editora Record na sua 75ª edição, em 2009, está disposto em duzentas e oitenta e seis páginas, trinta e quatro capítulos, e mais um apêndice, onde o autor desenvolve melhor os problemas narrados no decorrer da história. A linha de raciocínio que o autor desenvolve é muito interessante, pois em alguns casos até mesmo para quem gosta e entende matemática não pensa que poderia resolver desta maneira. Este livro tem como personagem principal Beremiz, um homem persa, que desde novo desenvolveu uma fantástica habilidade em calcular, e graças a essa habilidade muitas pessoas o procuram para resolver seus problemas. O primeiro a se encantar com o dom é um bagdali que lhe encontra quando voltava de uma excursão. Este mesmo bagdali convence o Beremiz a ir para Bagda ajudar o governo e poder ganhar muito dinheiro, de forma digna é claro, pois em momento algum o autor nos faz pensar que é errado.
No decorrer da viagem há problemas de matemática resolvidos com muita facilidade pelo homem que calculava. O primeiro é a história de três irmãos que não conseguem fazer a partilha de sua herança. São 35 camelos, sendo que pela vontade do pai, o mais velho deve receber a metade, o do meio a terça parte e o mais novo a nona parte. Os três irmãos não chegam a um acordo, pois sempre tem um que sai perdendo, foi então que o homem que calculava resolveu. Este problema é muito utilizado em livros didáticos para ensinar números fracionários.
A resolução é simples, basta adicionar mais um camelo na herança para as divisões ficarem exatas: o primeiro fica com 18, o segundo fica com 12, e o ultimo com 4. Sendo que se fossem 35 o primeiro ficaria com 17 e meio, o segundo com 11,667 e o terceiro com 3,88. Porem a soma dos camelos já dividido são: 18+12+4=34, logo sobraram o camelo que ele adicionou no inicio e mais um. Para entendermos melhor o raciocínio, o autor nos explica no apêndice.
No capitulo 4, surge um rico Mercador faminto e machucado, como os viajantes ainda tinham oito pães, cinco do calculista e três do Bagdali, seguiram viagem e dividiram entre os três. Quando chegaram ao destino, o mercador deu cinco moedas a Beremiz e 3 ao Bagdali, porem neste momento o autor nos faz pensar que nem sempre dividimos corretamente, pois na viagem eles pegavam cada pão e dividiam em três pedaços, logo o homem que calculava forneceu quinze pedaços e o amigo nove, no total vinte e quatro pedaços, ou seja oito pedaços para cada um, então dos 15 que Beremiz doou, comeu 8, tendo que receber sete moedas, e o Bagdali dos 9 que doou comeu 8, ou seja deve receber apenas uma moeda, assim cada um recebeu o que realmente contribuiu.
No próximo capitulo, acreditamos que a princípio, muitos não pensariam como o autor, mas que posteriormente ao entender o raciocínio utilizado, com certeza mudaria de idéia. O problema é o seguinte: Um joalheiro e o dono de uma hospedaria acordam que se o joalheiro vendesse as jóias por 100 dinares, pagaria 20 da hospedagem, e se vendesse a 200, pagaria 35. Porem o joalheiro vendeu por 140 dinares. Neste caso o autor nos mostra que se usarmos uma regra de três sem pensarmos antes, podemos cometer uma injustiça. Pois no ponto de vista do vendedor de jóias, deveria pagar 24,5 dinares, e pelo ponto de vista do dono da hospedaria ele deveria receber 28 dinares. Isso acontece pois o joalheiro calculou o valor proporcional ao valor de 35 e o hospedeiro, proporcional aos 20. Porem, devemos calcular da diferença entre uma opção e outra:
Preço de Venda
Preço hospedagem
200
35
100
20
Diferença= 100
Diferença= 15
Logo a regra de três deve ser calculada assim:
(40 porque é a diferença do primeiro valor e o resultado será o valor que deve ser pago a mais do que a menor proposta). Assim o acréscimo deve ser de 6 dinares do primeiro valor. Ou seja, o joalheiro paga 26 dinares pela hospedagem.
No sétimo capitulo podemos descobrir uma curiosidade, podemos escrever qualquer número de 1 a 100, apenas utilizando quatro algarismos 4 e os símbolos matemáticos. Ainda neste capitulo, o autor nos mostra que nas contas de pagamento, os saldos devedores não tem relação com o total da divida. Ou seja, se somarmos os pagamentos e os saldos devedores, eles não terão relação.
Um dos problemas resolvidos no capitulo 8 já virou até comunidade em redes sociais, onde muitos perguntam onde está o R$ 1,00. Particularmente preferimos o problema da internet, pois é disposto na nossa linguagem e não na linguagem das arábias. O problema é que três pessoas pagaram uma conta de 30 dinares, porem o mercador devolveu 5 dinares como desconto, o escravo que foi devolver ficou com 2 e cada uma das pessoas que pagaram ficaram com 1 dinar. Logo cada um pagou 9 dinares, totalizando 27, mais os dois do escravo temos 29, onde foi o outro dinar? Pois bem, o autor nos prova que este pensamento está errado, pois o que temos é que dos 30 dinares pagos, 25 ficaram com o mercador, 2 com o escravo e os outros 3 foram devolvidos, ou seja 30=25+2+3.
Muitas vezes nos deparamos com problemas do cotidiano, que ao ponto de vista dos leigos em matemática são muito complicados, porem se pensarmos com um pouco de lógica e colocarmos na ponta do lápis, saberemos que na verdade são simples de se resolver. Este livro com certeza, nos mostra isto, que podemos resolver coisas complicadas com a matemática.

Resenha do capítulo zero do livro O nada que existe

Livro: O nada que existe: Uma história natural do zero.
Autor do Livro: Robert Kaplan
Resenha do capítulo zero do livro O nada que existe
Autora da resenha: Schirlei de Macedo Braga
Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.

Robert Kaplan foi o fundador do The Macth Circle (programa aberto ao público para o desfrute da matemática pura) em 1994 e também professor de filosofia, grego, alemão, sânscrito e professor de matemática da Universidade de Harvard. Quando Roberto escreveu “O nada que existe”, tinha como intenção mostrar ao leitor a origem do número zero e o que exatamente ele significa, segundo ele, o zero nos permite ver a evolução da matemática como ferramenta para entender o universo. Para Kaplan, a história do zero nos revela verdades sobre a natureza da matemática e também dos próprios seres humanos.
O nada que existe contem duzentas e sete páginas. A obra se divide em dezessete capítulos, iniciando no capítulo zero até o dezesseis. Cada capítulo trás uma parte da história do número zero, mostrando a mudança dos símbolos desde a época dos sumários até a atualidade. Neste trabalho só vai ser resenhado o capítulo zero, ou seja, o primeiro capítulo, que está nas páginas 15 a 17.
O capítulo zero: A lente.
No início do capítulo somos instigados pelo autor, a olhar o zero de uma maneira diferente, não apenas como o “nada”, mas olhar através dele e descobrir o mundo. Esse número, considerado tão irrelevante por muitos, evidencia a grandiosa extensão da matemática, e ela, por sua vez coloca em evidência a natureza complexa das coisas. Segundo Kaplan, todas as maravilhosas ferramentas da matemática giram em torno do menor dos eixos, o zero.
A intrigante trajetória desse número, ao longo do tempo e do pensamento, é cheia de dissimulações e troca de identidades. De acordo com os estudos de Robert, o zero surge tardiamente, entre os sumérios, e nos séculos seguintes é modificado por acaso, e assim desaparece, para depois ressurgir transformado. Ele ainda destaca que, para alguns, o poder do zero era visto como divino, para outros ele era diabólico. O zero surge e desaparece entre os gregos, vive tranquilamente na Índia, sofre crises de identidade ocidentais e depois de Newton, ele emerge com toda a sutileza e complexidade da nossa época.
O autor apresenta a idéia de que o número zero é como um nada, que na verdade é alguma coisa, como o precursor de todos nós e como o enigma supremo.
À medida que avançamos na leitura, vimos que a evolução dos símbolos e significados do zero, foi fundamental para o desenvolvimento e a prática da matemática, entre diálogos, suposições, confirmações e pensamentos lógicos.
Robert ainda destaca que a matemática é uma atividade que trata da atividade, ela não chegou ao fim, embora a história do zero a rotule como terminada. O zero não representa o fechar de um círculo, e sim uma passagem.
Embora o capítulo Zero seja o primeiro, e tenha pouco mais que duas páginas, Robert consegue cativar o leitor e incentivá-lo à leitura, falando sobre o amadurecimento da matemática no passar do tempo, envolvendo a sua história, as contribuições e mudanças. Diante dessa análise, acredito que o livro pode contribuir muito para quem gosta e tem interesse na história da matemática, principalmente aos professores, que devem conhecer a origem daquilo que ensinam.

Resenha da cap 2 do livro Contando a História da Matemática. A invenção dos números.

Identificando a obra: GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1996.
Apresentando a obra: Este texto faz uma alusão ao surgimento do número natural, fazendo uma viagem da Pré-História até os dias atuais.
Descrevendo a estrutura: O livro é composto por 55 páginas as quais são divididas em quatro capítulos, com foco no surgimento dos números. O capítulo a ser resenhado é o capítulo 2: O número natural, página 14 à 37.
Descrevendo o conteúdo:
O número natural
O autor inicia o texto com a origem dos números naturais, segundo ele os números naturais tiveram suas origens com os egípcios, partindo da necessidade de se efetuar cálculos rápidos e precisos (já que estavam acontecendo muitos progressos, como a construção das pirâmides, os quais marcaram o fim da Pré-História), pois com o número concreto (pedras, nós ou riscos em ossos) não estava sendo prático. Foi quando surgiram as representações da quantidade de objetos através de desenhos: os símbolos.
Os egípcios baseavam seu sistema de numeração em sete números-chave:
10 100 1000 10 000 100 000 1000 000
Estes números eram representados por símbolos:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Para os egípcios, a ordem dos símbolos não alterava o número em questão.
Todos os cálculos que os egípcios utilizavam eram baseados na adição de números inteiros, mas com o decorrer do tempo houve a necessidade de expressar uma parte do todo através de um número e para isso os números inteiros não serviam. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Utilizavam apenas frações unitárias, com denominador igual a 1. Outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração, mas foram os romanos que criaram um sistema de numeração bem mais prático e eficiente.
Para Guelli, os romanos aperfeiçoaram o número concreto, mas não usaram símbolos novos para representar os números, usaram as próprias letras do alfabeto (os números romanos).
Os romanos baseavam seu sistema de numeração em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1000.
Os cálculos que os romanos utilizavam eram baseados na adição e na subtração, dependendo da ordem em que os números-chave apareciam.
Este sistema foi adotado por muitos povos, mas ainda era difícil efetuar cálculos com o mesmo.
Na segunda parte do texto o autor traz que foi na Índia que aconteceu uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal. Isto aconteceu após o aperfeiçoamento dos símbolos utilizados pelos hindus, quando houve a ideia de introduzir uma notação para uma posição vazia – o zero. Foi quando os dez símbolos que conhecemos hoje em dia foram criados. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Mas foram os árabes que divulgaram ao mundo os números hindus, após traduções de livros vindos da Índia. Os árabes compreenderam o tesouro que os matemáticos hindus haviam descoberto. Isto permitiu o desenvolvimento de sistemas para o armazenamento de grandes números. Por isso, o nosso sistema de numeração decimal é conhecido como indo-arábico.
Segundo conclusões do autor com este sistema de numeração ficou muito fácil de escrever qualquer número, por maior que ele fosse, e como estes números foram criados para para tornar mais prático contar as coisas da natureza, eles foram chamados de números naturais. Os quais tornaram mais fácil a escrita dos números fracionários, que passaram a ser escritos pela razão de dois números naturais e não pela adição de dois fracionários.
Recomendando a obra: Este texto é útil como forma de contextualização do conceito números naturais, além de levar os alunos a compreenderem os significados, as notações, os cálculos e as aplicações, relacionando assim os fundamentos e a evolução dos conceitos.
Identificando o autor: Oscar Guelli, tomou a importante decisão aos 20 anos entre ser Jogador de Futebol ou Engenheiro, e em 1966, ingressou na faculdade de Engenharia, mas em 1967 fez a escolha certa: Matemática. Desde que concluiu seu curso em 1974, Oscar lecionou em muitas escolas de renome. Possui muitas obras em seu nome, desde livros didáticos à literatura infantil.
Assinando e identificando-se: Ana Paula Vieira Tomazzoni e Cristiane Tisott, ambas “Acadêmicas do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Universidade de Caxias do Sul (UCS)”.

terça-feira, 7 de dezembro de 2010

Resenha de um capitulo do livro O teorema do Papagaio

O TEOREMA DO PAPAGAIO

Capítulo: PITÁGORAS, O HOMEM QUE VIA NÚMEROS EM TODA PARTE
Carina de Lurdes Soares
Greice Lazzarotto
Acadêmicas do curso de Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.



GUEDJ, Denis. Pitágoras, o homem que via números em toda parte. In: ______. O teorema do papagaio. 1. ed. São Paulo: Companhia das Letras, 1999. p. 104 - 122.
Este capítulo conta a história de Pitágoras, seus estudos e, posteriormente seus ensinamentos na Escola Pitagórica.
O capítulo "Pitágoras, o homem que via números em toda parte" está inserido no livro O teorema do papagaio que está dividido em vinte e seis capítulos: Nofutur; Max, o eólico; Tales, o homem da sombra; A biblioteca da floresta; O pessoal matemático de todos os tempos; A segunda carta de Grosrouvre; Pitágoras, o homem que via números em toda parte; Da importância à segurança. Os números irracionais; Euclides, o homem do rigor; O encontro de um cone com o plano; Os três problemas da Rue Ravignan; Os obscuros segredos do IMA; Bagdá durante; Bagdá depois; Tartaglia, Ferrari. Da espada ao veneno; Igualdade; Fraternidade, liberdade. Abel, Galois; Fermet, o príncipe dos amadores; A rosa-dos-ventos; Euler, o homem que via a matemática; Conjecturas e Cia; Impossível é matemático; Gostaria de ver Siracusa; Arquimedes. Quem pode o menos pode o mais; Mamaguena!; As pedras do vau. O livro conta o dia-a-dia de um filósofo numa cadeira de rodas, um menino surdo, um casal de gêmeos adolescentes e um papagaio que sofre de amnésia. Esta narração se passa em Paris e conta a "história da matemática", não apenas com fórmulas, mas de uma forma diferente da utilizada no nosso sistema de ensino. O Senhor Ruche recebe uma biblioteca completa com livros raros de matemática, e passa a transmitir as envolventes histórias aos gêmeos, Jonathan e Lea, à medida que os estudos avançam, ficam cada vez mais curiosos a respeito das incríveis coincidências entre suas vidas e a daqueles que estudam. Despertando o interesse na compreensão e organização da história do pensamento matemático desde a antiguidade até os dias atuais.
Denis Guedj relata que o Senhor Ruche ao ler a carta de seu amigo vê significados nas entre linhas e questiona-se por que ele foi escolhido, qual seria o segredo. Para entender melhor isso pega livros pré-socrático e A vida de Pitágoras, livro bastante utilizado pelo seu amigo, dando atenção especial às páginas mais gastas. Enquanto lê os livros faz anotações, que serão utilizadas nas explicações para os gêmeos. Sua primeira anotação foi "Pitágoras inventou a palavra filosofia".
Posteriormente, faz um breve relato da vida de Pitágoras, contando que ele nasceu no século VI a.C. na Ilha de Samos. Estudou na Jordânia com Tales. Depois no Monte Carmel, no Egito, onde aprendeu com os sacerdotes egípcios. Preso na Babilônia, aprendeu com os escribas e os magos babilônicos. Por fim instala-se em Crota, onde funda a Escola Pitagórica, que permaneceu por 150 anos e contou com 218 pitagóricos.
O autor prossegue com histórias da escola, onde Hipasus, um dos primeiros pitagóricos, trabalhava com os iniciantes e foi o inventor da média harmônica. O livro ainda traz a explicação das três médias: aritmética, geométrica e harmônica. Relata que Hipócrates foi o inventor do raciocínio por absurdo e conta como isso é feito, pegando o contrário de uma proposição e considerando-a verdadeira se isso gerar um absurdo, consequentemente a proposição negada inicialmente é verdadeira. Conta que Cílon, um morador da cidade, rejeitado na Escola Pitagórica queima membros da mesma em uma reunião, somente um sobrevive Filolaus, que já naquela época dizia que a Terra não era o centro do universo. Arquitas tornou o um número como os outros, e, além disso, foi o primeiro engenheiro, aplicando os princípios matemáticos da geometria.
O livro traz relações com os integrantes da família e os matemáticos estudados. Relata que os pitagóricos introduziram a música e a mecânica, defendendo a aritmética como ciência dos números, fez as primeiras demonstrações verdadeiras, demonstraram que a soma dos ângulos de todos os triângulos é 180º e principalmente demonstraram a irracionalidade.
Guedj continua narrando agora as ilustrações feitas pela família, à experiência musical com cilindros e água para explicar que Pitágoras via números em toda a parte e que foi na música que ele a descobriu pela primeira vez, pois a harmonia nas músicas são relações numéricas. Pitágoras inventou a palavra „Cosmos‟ que representa a boa ordem e a beleza relacionada à música. A partir da matemática na música, os pitagóricos analisaram a aritmética, a ciência dos números, diferente do cálculo puro. A história toda é contada para Jonathan e Lea pelo Senhor Ruche, Max e Nofutur, com grande preparação e organização. Eles relatam aos gêmeos que Pitágoras foi o primeiro a classificar os números, dividindo os inteiros em pares e ímpares e estabeleceu as seguintes regras: par mais par igual a par; ímpar mais ímpar igual a par; par mais ímpar igual a ímpar; par vezes par igual a par; ímpar vezes ímpar igual a ímpar; par vezes ímpar igual a par. Contam ainda que o teorema de Pitágoras não foi criado por ele, e sim por um escriba cem anos antes do nascimento de Pitágoras, porém quem demonstrou foi Pitágoras e com isso coube a ele o teorema, fazem a demonstração prática do mesmo com a conclusão sendo a regra. O Senhor Ruche conta como era feito o ensino na escola Pitagórica e que ele fez da mesma maneira com Jonathan e Lea, primeiramente atrás da cortina calados, passada essa fase são admitidos na escola Pitagórica.
O autor conclui com uma discussão sobre a morte de Grosrouvre, relacionando com a história dos pitagóricos, pois quando um integrante da escola era recusado, e por consequência era feita sua exclusão, faziam-lhe um túmulo, mesmo que não tivesse morrido para que os que descobrissem o mesmo acreditavam que a pessoa a quem
pertencia estava morta. E com isso ligaram à morte de Grosrouvre, será que o corpo encontrado carbonizado era mesmo dele? Ou a morte foi simbólica como a dos pitagóricos que eram expulsos da escola?
Compreendemos que este livro é uma importante referência na literatura mundial. Professores, alunos de graduação e leitores em geral que se interesse a esse tipo de leitura verificaram como é atraente as coincidências enigmáticas e surpreendentes da historia da matemática revelando toda a poesia dessa maravilhosa ciência.
O autor Denis Guedj, escritor e matemático francês, nasceu em 1940 e faleceu em 24 de abril de 2010. Estudou matemática em Paris e lecionou história da ciência e epistemologia na Universidade de Paris VIII.
Suas principais obras são: La Chaise (Robert Laffont, 1997), O Teorema do Papagaio (Seuil, 1998), A Bela (Seuil, 2001), O Cabelo de Berenice (Threshold, 2002), e ensaios: A Revolução dos Estudiosos (Gallimard, 1988), O Império dos Números (Gallimard, 1996), Liberdade não vale nada (Seuil, 1997), O metro do Mundo (Seuil, 2000).

Resenha do capítulo 6 do livro O diabo dos números

Resenha do capítulo 6 do livro O diabo dos números
Autor do Livro: Hans Magnus Enzensberger
Autora: Greice Sipp
Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.


Hans Magnus Enzensberger é poeta, ensaísta, tradutor e editor alemão e desenvolveu o estudo da Matemática para os que têm medo dela. Suas obras são: Por Onde Você Andou, Robert? (1999), O Naufrágio do Titanic: uma Comédia (2000), O Diabo dos Números (2000), Elementos para uma Teoria dos Meios de Comunicação (2003), Ziguezague: Ensaios (2003), Hammerstein ou a Obstinação: Uma História Alemã (2009). Trabalhou como redator na rádio de Stuttgart e exerceu a docência até 1957. Desde 1985 edita a série literária Die andere Bibliothek.

O livro O Diabo dos números tem duzentas e sessenta e seis páginas e é divido em doze capítulos. Cada um desses capítulos representa uma noite de sonhos de Robert, o personagem principal, com o Diabo dos números. Este menino tinha pesadelos todas às noites, mas em uma dessas noites em seu sonho apareceu O Diabo dos números e começou a ensinar Robert Matemática de uma forma diferente. Com isso, Robert mudou a imagem que tinha sobre a Matemática. Neste trabalho está resenhado o capítulo 6, a sexta noite que está nas páginas 105 a 122 do livro.
Nesta noite Robert sonhou que o Diabo dos números estava sentado numa cadeira de armar, no meio de uma plantação de batatas. Ele contou a Robert sobre um sujeito simpático, o velho Bonatchi, disse que foi ele quem inventou os números de Bonatchi, o autor chama o matemático Leonardo de Fibonacci (1170-1250), mais conhecido como Leonardo de Pisa, de Bonacthi, pois se trata de ser um velho conhecido do Diabo dos Números e também para facilitar o entendimento por parte do leitor, usando uma linguagem mais fácil ou então por saber que o apelido do pai de Leonardo de Fibonacci era Bonacci. Assim o Diabo dos Números explicou a Robert que esta invenção começa com o número 1, mais exatamente com dois uns: 1 + 1 = 2, e a sequência segue da seguinte forma: somam-se os dois últimos números da sequencia, por exemplo: 1, 1, para obter o terceiro número 1+1 = 2, para obter o quarto número: 2+1=3, o quinto: 3+2=5 e assim a sequencia vai se formando: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Robert complementa: “Até o dia de São Nunca.”.
O Diabo dos números puxou então de dentro de sua bengala um rolo de papel e o desenrolou cada vez mais para longe até sua ponta desaparecer, ali estava escrita a sequencia de Bonatchi. Robert não se impressionou, então o Diabo dos Números disse a Robert que se ele somar os cinco primeiros números e acrescentar 1 à soma, o resultado será o sétimo, se somar os seis primeiros e acrescentar 1, o resultado será o oitavo, e assim por diante. Ele diz ainda que também funciona se pular um dos números, mas só não pode usar o primeiro, por exemplo, 2+3+8+21=34, ou seja, o próximo número de Bonatchi depois do 21. O Diabo dos Números diz que funciona também com os números saltando, como por exemplo, o quarto número de Bonacthi, 3, se saltar 3² = 9, e o quinto número de Bonacthi, 5, se saltar 5² = 25, somando os dois resultados, 9+25=34, ou seja, o nono número de Bonacthi, pois 4+5=9.
Mas, Robert não estava empolgado e não via serventia nenhuma naqueles números, foi então que o Diabo dos Números disse a Robert que a natureza não vive sem os números, Robert falou que isso era conversa fiada. O Diabo dos Números diz que todos os animais sabem contar, que talvez eles tenham compreendido como os números funcionam. Robert continua não acreditando. O Diabo dos Números diz então que os coelhos sabem contar e pergunta a Robert se ele esta vendo algum coelho, Robert diz que não, mas neste momento o Diabo dos Números mostra a Robert dois coelhos que andavam pela plantação, e então complementa dizendo que achava que era um casal, que tudo começava pelo um. Neste momento os coelhos começaram a conversar com Robert e disseram que para ficarem adultos iria demorar dois meses e para nascerem os filhotes, uma coelhinha e um coelhinho mais um mês. Neste instante Robert perguntou ao casal se iriam querer somente dois filhotes, a coelha respondeu que iriam querer mais, mas que dois por mês já era o bastante, e iria acontecer a mesma coisa com seus filhotes, iriam crescer e ter filhotes também.
Robert disse ao Diabo dos Números que não tinha tempo para esperar nascerem os filhotes, além disso, tinha aula de manhã cedo. O Diabo dos Números respondeu que isso não era problema, que na plantação de batatas em que estavam o tempo passava muito rápido, um mês em apenas 5 minutos, e então tirou do bolso um relógio-coelho, e disse que este relógio não mostrava as horas, mas os meses e cada vez que passa um mês o relógio toca. O Diabo dos Números apertou o botão do relógio e este começou a fazer tique-taque, quando chegou ao dois o relógio tocou, quando chegou ao três, já haviam se passado três meses e a coelha deu a luz a dois coelhos. Mas, não estavam satisfeitos e quando o ponteiro do relógio chegou ao 4, o relógio tocou e a velha coelha deu à luz a mais dois coelhos. Neste momento eram três casais de coelhos, o mais velho e os casais filhotes. Quando o ponteiro chegou ao cinco a coelha mais velha deu a luz a mais um casal e seus primeiros filhotes também. Então eram os pais, os três casais de filhotes e um casal de netos.
Robert conseguiu acompanhar bem até que o relógio chegou no 6, eram oito casais, mas quando o relógio tocou novamente já eram 13, Robert já estava confuso. Mesmo quando o relógio tocou pela oitava vez, Robert ainda não tinha perdido as contas, eram 21 casais. O Diabo dos Números pediu a Robert se ele não havia notado nada de especial, Robert respondeu que os coelhos se comportavam como os números de Bonacthi. Enquanto Robert dizia isso, muitos outros coelhos nasceram e tomaram a plantação de batatas. Eram tantos que Robert não conseguia mais enxergar todos para contar, neste momento ele pediu socorro ao Diabo dos Números, dizendo que isto não tinha mais fim, que agora já são mais de mil, o Diabo dos Números respondeu dizendo que eram exatamente 4.181 e que em cinco minutos seriam 6.765. Robert então questionou o Diabo dos Números se ele deixaria eles irem em frente até que o mundo fosse tomado por coelhos, então o Diabo dos Números respondeu que isto nem levaria muito tempo, Robert disse que ele precisava deter os coelhos, esperto o Diabo dos Números disse que sim, mas somente se ele admitisse que os coelhos se comportam como os números de Bonacthi, prontamente Robert reconheceu o fato. Então o Diabo dos Números apertou duas vezes o botãozinho do relógio-coelho e este começou a andar para trás. Estava novamente no zero e restava apenas o primeiro casal de coelhos na plantação de batatas. Eles se despediram e foram embora sem se preocupar com o destino do último casal de coelhos. O Diabo dos Números foi ao encontro do seu velho conhecido Bonacthi no paraíso dos números e Robert continuou dormindo, sem sonhar, até tocar o despertador.
A sequencia de Fibonacci está relacionada ao número de ouro, este número tem o valor aproximado de 1,62 (1,618033989...). A sequência de Fibonacci por sua vez tem os números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... . Conforme a sequência de Fibonacci aumenta, se dividirmos um número qualquer pelo seu antecessor nos aproximamos cada vez mais do número de ouro. Vejamos:
Algo importante ao preparar uma aula é se colocar no lugar do aluno, desenvolvendo possíveis questionamentos que eles possam ter, planejar construindo o conhecimento, perguntar-se sempre será que desta forma vou atingir o interesse dos alunos? Preciso mudar algo? Será que posso incluir algum jogo? Com o que podemos relacionar no dia a dia dos alunos? Desta forma, as aulas ficarão mais flexíveis e de acordo com a realidade dos alunos. Este livro é um excelente aliado neste aspecto e pode ser muito bem trabalhado com os alunos.

Resenha do capítulo 3 do livro O diabo dos números

Resenha do capítulo 3 do livro O diabo dos números
Autor do Livro: Hans Magnus Enzensberger
Autores: Cassiano Scott Puhl e Cristine Paese
Acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade de Caxias do Sul, RS.


Se comentar um livro é difícil, mais difícil ainda é escrevê-lo. Foi esta tarefa de Hans Magnus Enzensberger, poeta, ensaísta, tradutor e editor alemão e desenvolveu o estudo da Matemática para os que têm medo dela. Suas obras são: Por Onde Você Andou, Robert? (1999), O Naufrágio do Titanic: uma Comédia (2000), O Diabo dos Números (2000), Elementos para uma Teoria dos Meios de Comunicação (2003), Ziguezague: Ensaios (2003), Hammerstein ou a Obstinação: Uma História Alemã (2009). Trabalhou como redator na rádio de Stuttgart e exerceu a docência até 1957. Desde 1985 edita a série literária Die andere Bibliothek.
O Diabo dos números contem duzentas e sessenta e seis páginas. A obra se divide em doze noites, ou seja, doze capítulos. Cada noite representa um sonho de Robert, personagem principal, com o Diabo dos números. O menino Robert tinha pesadelos, até que um dia veio o Diabo dos números começou a ensinar Matemática de uma forma diferente, desafiando-o, instigando, fazendo o menino raciocinar e a deduzir. E com isto, o resultando foi numa mudança de imagem que o rapaz tinha sobre a Matemática. Neste trabalho só vai ser resenhado o capítulo 3, ou seja, a terceira noite que está nas páginas 48 a 64.

O capítulo três A terceira noite.
O Robert começava a gostar das visitas do Diabo dos Números, mesmo que o sábio discutisse, grita e se revoltasse contra o rapaz. Mas, antes de sonhar com Diabo, o garoto sonhava com peixes gigantes comendo-o ou ele caindo em buracos sem fim, por isso ele preferia sonhar com esse rabugento Diabo. O menino queria mostrar que não era ignorante.
No início do sonho do capítulo, o Diabo faz perguntas sobre a tabuada. Essas perguntas são a base para que o sábio ensine um conteúdo pouco visto na escola, os números primos. Como os questionamentos eram fáceis, Robert acabou se gabando, e esnobando o sábio. Porém, o Diabo se revolta e reclama para o menino, pois na escola ela decorou a tabuada não aprendeu.
O diabo dos números era bem criativo, fez Robert pensar na tabuada e então pediu para que ele observasse o número 19 e dizer por que número pode ser dividido em partes iguais. Se o número 19 existe em alguma tabuada, porém você vai perceber que só podemos dividi-lo em 19 partes iguais ou em uma parte.
Porém o rapaz curioso queria saber, por que não poderia dividir por zero o 19. O diabo explica que seria impossível, pois se tentarmos dividir 19 por zero não teríamos resultado. O método que ele utiliza para explicar é que sempre deveremos fazer a operação inversa. Como neste exemplo: 6 dividido por 2 é 3, então pela operação inversa 2 multiplicado por 3 é 6. No casso do número 19, então teríamos 19 vezes zero é zero. Então destaca uma definição para números divididos por zero: Qualquer número dividido por zero é zero. Além do número 19 podemos pensar em vários outros números que são divisíveis somente por si mesmo ou por 1, e esses números recebem o nome de números primos.
Após esta retomada da tabuada, o Diabo dos Números começa seu principal conteúdo, os números primos. O sábio possuía uma bengala mágica, tudo o que ele queria era uma questão de tempo. Com a bengala, ele escreveu os números de 2 a 50 para que Robert possa concluir quais são os números primos neste intervalo. Explica que o número 1 não entra, pois qualquer número pode ser dividido por 1 e o número zero também não entra pelo motivo explicado acima.
A tabuada agora vai ajudar Robert, o diabo pede para Robert retirar primeiro todos os números múltiplos de 2, e consequentemente os múltiplos de 3, 5 e 7. Robert teria que conhecer bem a tabuada para construir deduzir quais sejam os números primos. Assim o sábio afirma que o restante dos números são os números primos até 50. Esse método foi descoberto por Eratóstenes (276 a.C. – 194 a.C.), esse método serve para encontrar os primos em uma sequencia de números naturais de 1 até n, esse procedimento recebeu o nome de crivo de Eratóstenes.
Agora você pode perguntar, por que os múltiplos até 7? Bom, o restante dos números é múltiplo desses citados acima, ou senão, são os números primos. Vamos ver o número 9, ele é múltiplo de 3. Agora o número 11, ele só pode ser dividido por 1 ou por ele mesmo, então este é um número primo. Se você tem dificuldade de ver quando ele é primo, basta dividir o número por esses acima, se for um calculo exato, ele é múltiplo. Vamos ver um exemplo para facilitar, e o número é o 7: dividindo por 2 temos o resultado 3 e resto 1; dividindo por 3 temos o resultado 2 e resto 1; dividindo por 4 temos o resultado 1 e o resto 3; dividindo por 5 temos o resultado 5 e resto 2; agora dividindo por 7 temos o resultado 1. Dos números anteriores nenhum resultou numa divisão exata, somente quando foi dividido ele por si próprio, assim podemos concluir que o 7 é um número primo. Portanto, os números primos até 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49. Mas, não existem apenas números primos até 50.
Os números primos são infinitos. Esperto, o Diabo dos números ensina um truque para o garoto. O diabo diz que todos os números pares se forem desmembrado, basta somar dois números primos que encontrará o número desmembrado, por exemplo, o número 34 podemos dizer que é 29 mais 5, que resulta em 34. Essa curiosidade foi descoberta por Christian Goldbach, mas é um dos problemas que ainda não foi resolvido, pois não sabemos se ela funciona para todos os números primos e recebeu o nome de conjectura de Goldbach. Ou ainda, para os números impares, basta somar três números primos, como por exemplo, 55 que pode ser a soma 5 + 19 + 31, então não importa o número, ele sempre vai poder ser desmontado e se encontrará pela soma de números primos.
O Diabo dos números admite que apesar de saber sobre isso, muitos matemáticos ainda não sabem provar porque isto ocorre. E assim, o Diabo dos números começou a desaparecer, junto com os números. E Robert parecia estar dormindo numa cama quente e macia, esperando a próxima lição do seu novo mestre.
Concluindo, as descobertas matemáticas precisam ser provas para ter validade, porém existem pressupostos que não estão acabados, como a conjectura de Goldbach. Vários matemáticos já tentaram comprovar, mas ninguém conseguiu. Assim a obra reflete sobre o método que o Diabo dos números utilizava instigava o Robert a aprender cada veze mais. A cada sonho o ele fazia malabarismos tão interessantes que os números simplesmente deixam de ser malditos. Ficando claros para Robert, claros e diabolicamente divertidos.
Assim, diante desse capitulo podemos dizer que o importante para que o aluno tenha vontade de aprender é fazer com que ele pense e participe da situação, contar histórias com determinados conteúdo instiga os alunos. O bom professor é aquele que conduz e ensina, e não aquele que faz com que seu aluno decorre o conteúdo. Para quem nunca gostou da Matemática, que nunca percebeu ou que ainda não percebe, esta é uma história exemplar para ver que, afinal, a Matemática não é nenhum pesadelo ou bicho de sete cabeças.